Probabilités : Loi binomiale - Spécialité

Guilaine et Pierre jouent à lancer une pièce de monnaie qui a 3 fois plus de chances de tomber sur Pile que sur Face.
En utilisant la formule de l'espérance d'une loi binomiale, estimer le nombre de Pile qu'ils peuvent s'attendre à obtenir après 400 lancers. On arrondira le résultat pour qu'il s'exprime sous la forme d'un entier.

Soit B une loi binomiale de paramètres \(p = \dfrac{1}{2} \) et \(n = 9 \).
Quelle est l'espérance de B ?

Quelle est la variance de B ?

Un joueur de football prétend qu'à l'entraînement, il peut marquer un but depuis l'autre bout du terrain \( 5 \) fois sur \( 11 \). On note \( T \) la variable aléatoire égale au nombre de buts marqués dans ce cadre lors d'une série de \( 10 \) essais, les essais étant supposés indépendants les uns des autres.

Quelle est la probabilité que ce joueur marque exactement \( 8 \) buts ?
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-2} \) près.

On rappelle que l'espérance de la loi \( T \) est le nombre moyen de buts que marquerait ce joueur s'il effectuait de nouvelles séries de \( 10 \) essais un grand nombre de fois.

Calculer l'espérance de la loi \( T \).
On donnera un résultat arrondi à \( 10^{-2} \) près.

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \(n = 6\) et \(p = \dfrac{2}{3}\).

Calculer l'espérance de \( X \).
On donnera la réponse sous la forme d'une fraction.

Calculer l'écart type de \( X \).
On donnera la réponse sous la forme d'une fraction.

Calculer \(P\left(X = 6\right)\).
On donnera la réponse arrondie à \(10^{-4}\) près.

Soit \( X \) une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres \( n = 6 \) et \( p = \dfrac{1}{2} \).

Calculer \( P(X = 3) \)
On donnera la réponse arrondie à \( 10^{-4} \) près.
On donnera la réponse directement, sans préciser à quoi elle correspond.